Comenzado elmiércoles, 22 de abril de 2020, 19:00
EstadoFinalizado
Finalizado enmiércoles, 22 de abril de 2020, 20:58
Tiempo empleado1 hora 57 minutos

Pregunta 1

Finalizado
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Enunciado de la pregunta

Hallar el menor entero positivo X tal que X3495 (mód 20)   [0,5p]

NOTAS:

- Para la multiplicación usar la x minúscula.

- Para la congruencia usar el símbolo #

- Para los exponentes usar el símbolo ^

EJEMPLO:   La congruencia X3495 (mód 20)  la escribimos X # 3^495 (mód 20)

Teorema de Fermat

a = 3

p = 20

mcd(a,p) = 1

3^(20-1) # 1(mod 20)

495/19 = (q = 26,r = 1)

3^495 # 3^(19x26+1) # ((3^19)^26) x 3^1 # (1^26) x (3^1) #  3^1(mod 20)

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Pregunta 2

Finalizado
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Enunciado de la pregunta

El algoritmo RSA. Codificaremos letra a letra y usaremos la tabla dada en los apuntes página 17.

Para cifrar un mensaje usamos la clave pública n=65e=11. Se pide:

a) Hallar, sin usar Matlab, la clave privada d.    [0,5p]

b) Escribir las instrucciones necesarias de Matlab para cifrar el mensaje OK  [O16 y K11] y hallar el mensaje cifrado.    [0,5p]

c) Escribir las instrucciones necesarias de Matlab para descifrar el mensaje 15-24 y hallar el mensaje original.    [0,5p]

NOTAS:

- Para la multiplicación usar x minúscula.

- Para el símbolo usar #

- Para el  símbolo ϕ usar f minúscula.

a)

n = 65

65 = 5 x 13  -> p = 5; q = 13

f = (5 - 1) x (13 - 1) =  48

d = inv(e, f) = 35

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Pregunta 3

Finalizado
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Enunciado de la pregunta

Dada la matriz A=(242212112404), en papel aparte, usar el algoritmo de Gauss-Jordan para hallar la forma escalonada reducida (en adelante FER) de A. A continuación,

a) Escribir la FER de A y las transformaciones elementales usadas para hallar dicha FER de A.    [1p]

b) Hallar una matriz invertible P tal que P×A= FER de A. Explicar cómo se ha obtenido P.   [1p]

NOTAS:

- Para escribir una matriz podemos usar la notación de Matlab o, simplemente, escribir una fila en cada línea.

Por ejemplo A=[2 4 2 2;1 2 1 1;2 4 0 4] o bien

A=

2 4 2 2

1 2 1 1

2 4 0 -4

- Para las transformaciones elementales: Fi,j=Fi,j     F2,3(12)=F2,3(1/2)    Fi(k)=Fi(k)

-Para multiplicar usar la x minúscula, por ejemplo F1,2(3)×F3,2(2)=F1,2(-3)xF3,2(-2)

a)

A=[2 4 2 2;1 2 1 1;2 4 0 -4]

F2,1(-1/2)

A1=[2 4 2 2;0 0 0 0;2 4 0 -4]

F3,1(-1)

A2=[2 4 2 2;0 0 0 0;0 0 -2 -6]

F1(-1/2)&F3(-1/2)

A3=[1 2 1 1;0 0 0 0;0 0 -1 -3]


b)

La matriz P será igual a la multiplicación de cada una de las matrices elementales utilizadas para hallar la FER pero en orden inverso, ej: E = E1x....xEn

E1=inv([1 0 0;(-1/2) 1 0;0 0 1])

E2=inv([1 0 0;0 1 0;-1 0 1])

E3 =inv([1/2 0 0;0 1 0;0 0 (-1/2)]))

E = E1 * E2 * E3

A = E x A3

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Pregunta 4

Finalizado
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Enunciado de la pregunta

En ambos apartados, a y b son número enteros comprendidos entre 0 y 9.

a) El número aba es múltiplo de 35 ¿Cuánto valdrán ab sabiendo que a0,b0 y ab? [0,5p]

b)  Si el número 5a8b9 es múltiplo de 11 y b=a+1, ¿cuánto debe valer a?   [0,5p]

a)a=5 ; b=2 o b=8

b)a=5 ; b=6

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Pregunta 5

Finalizado
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Enunciado de la pregunta

Usar el algoritmo de Euclides para hallar mcd(1638,924)    [0,5p]

NOTA:

Para la multiplicación, escribir x minúscula, por ejemplo 123 = 14x8 + 11

Cálculo de MCD de 1638 y 924 utilizando el algoritmo de Euclid.

1638=9241+714

924=7141+210

714=2103+84

210=842+42

84=42x2+0

El MCD de 1638 y 924 es igual a 42.

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Pregunta 6

Finalizado
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Enunciado de la pregunta

Dadas las matrices A=(212433125) y B=(731354), se pide:


a) Expresar la tercera fila del producto A×B como combinación lineal de las filas de la matriz B ¿Cuáles son los coeficientes de la combinación?   [0,5p]
Nota: se pide "algo más" que hacer el producto de las dos matrices y señalar la tercera fila.

b)  Expresar la segunda columna de la matriz B×Bt como combinación lineal de las columnas de B ¿Cuáles son los coeficientes de la combinación?    [0,5p]

NOTAS:

- Para escribir una matriz podemos usar la notación de Matlab o, simplemente, escribir una fila en cada línea.

Por ejemplo A=[2 1 -2;4 -3 -3;1 2 5] o bien

A=

2  1 -1

4 -3 -3

1 2 5

- Para escribir la traspuesta de la matriz A, escribimos A' ó A^t

A)

La tercera fila sería

R3 = a31*b11+a32*b21+a33*b31 = 30


B)

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Pregunta 7

Finalizado
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Enunciado de la pregunta

a) Probar que para toda matriz Am×n se cumple que At×A y A×At son matrices simétricas.    [0,25p]

b) Dada la matriz A=(120111), probar que la matriz P=At×A es invertible y hallar su inversa como producto de matrices elementales.    [0,75p]

NOTAS:

- Para escribir una matriz podemos usar la notación de Matlab o, simplemente, escribir una fila en cada línea.

Por ejemplo A=[1 2;0 -1;1 1] o bien

A=

1 2

0 -1

1 1

- Para las transformaciones elementales: Fi,j=Fi,j     F2,3(12)=F2,3(1/2)    Fi(k)=Fi(k)

-Para multiplicar usar la x minúscula, por ejemplo F1,2(3)×F3,2(2)=F1,2(-3)xF3,2(-2)

a) 

A = [a(1 1) a(1 2) ... a(1 n), a(2 1) a(2 2) ... a(2 n), .... .... ..., a(m 1) a(m 2) ... a(m n)]

At =[a(1 1) a(2 1) ... a(m 1), a(1 2) a(2 2) ... a(m 2), .... .... ..., a(1 n) a(2 n) ... a(m n)]


A x At = a(1 1)*a(1 1) + a(1 2) * a(1 2)  + .... + a(1 n)a(1  n)

a(1 1)a(2 1) + a(1 2) * a(2 2)  + .... + a(1 n)a(2 n)    ...   a(1 1)a(m 1) + a(1 2) * a(m 2)  + .... + a(1 n)a(m n)

...

a(2 1)a(1 1) + a(2 2) * a(1 2)  + .... + a(2 n)a(1  n)        a(2 1)a(2 1) + a(2 2) * a(2 2)  + .... + a(2 n)a(2 n)    ...   a(2 1)a(m 1) + a(2 2) * a(m 2)  + .... + a(2 n)a(m n)

...

a(m 1)a(1 1) + a(m 2) * a(1 2)  + .... + a(m n)a(1  n)    a(m 1)a(2 1) + a(m 2) * a(2 2)  + .... + a(m n)a(2 n)  ...  a(m 1)a(m 1) + a(m 2) * a(m 2)  + .... + a(m n)a(m n)




At x A = 

a(1 1)a(1 1) + a(2 1) * a(2 1)  + .... + a(m 1)a(m  1)      a(1 1)a(1 2) + a(2 2) * a(2 2)  + .... + a(m 1)a(m 2)    ...   a(1 1)a(m 1) + a(2 1)a(m 2) + .... +a(m 1)a(m n)

...

a(1 2)*a(1 1) + a(2 2) * a(2 1)  + .... + a(m 2)a(m  1)      a(1 2)a(2 1) + a(2 2) * a(2 2)  + .... + a(m 2)a(m 2)    ...   a(1 2)a(1 n) + a(2 2)*a(2 n) + .... + a(m 2) * a(m n)

...

a(1 n)a(1 1)+a(2 n)a(2 1) + .... +a(m n)a(m  1)            a(1 n)a(1 2)+a(2 n)a(2 2) + .... +a(m n)a(m 2)         ...  a(1 n)*a(1 n) + a(2 n) * a(2 n)  + .... + a(m n)*a(m n)


Son simétricas.


b)

b)

A = [1 2, 0 -1, 1 1] 

At=[1 0 1, 2 -1 1] 

P= At*A --> P = [ 2 3, 3 6] --> Adj P = [6 -3, -3 2] -->Adj P t = [6 -3, -3 2] --> Det P = 3 --> 1/3 * AdjPt = [2 -1 ,-1 2/3]

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Pregunta 8

Finalizado
Puntúa como 1,50
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Enunciado de la pregunta

Dada la ecuación diofántica 7X + 9Y = 3, se pide:

a) Antes de intentar resolver la ecuación, probar que esta tiene solución.    [0,25p]

b) Usar el método de Euler para hallar una solución particular de la ecuación.    [0,5p]

c) Hallar la solución general de la ecuación.     [0,75p]

NOTA:

Para el signo de multiplica usar x (minúscula). Las variables en X e Y en mayúscula.

EJEMPLO:  X=(1-2xY)/11

a) 

Tiene solucion, el mcd(7,9) es 1 ,por lo que se cumple mcd(a,b)|c--> mcd(7,9)|3


b)

Sabiendo que el m.c.d(7,9) = 1, se obtiene que: 

 7 = 7 x 1 en la que 7 pasa a ser Xh 

 9 = 9 x 1 en la que 9 pasa a ser Yh

c)

Cogiendo los valores del apartado b, la ecuacion general queda que: 

 X= 12 +9n 

 Y= -9 -7n

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Pregunta 9

Finalizado
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Enunciado de la pregunta

Hallar todos los XZ tales que 16X24 (mód 28)    [1p]

NOTAS:

- Para la multiplicación usar x minúscula

- Para el símbolo usar #

EJEMPLO: Para escribir 4×4X24 (mód 28), hacer 4x4X # 24 (mód 28)

16X#24(mód 28) es lo mismo que 4X#6(mód 7)


Como mcd(4, 7)=1, tiene solución.


Buscamos un numero y que al multiplicarlo por 4 y dividirlo por 7, de resto 1.

4*y#1 (mód 7) ---> Ese valor de y es 2.

Ahora multiplicamos 2 en 4X#6(mód 7) --> 8X#12(mod 7) --> X#5(mod 7)

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